lunes, 27 de agosto de 2018

Las matemáticas no son perfectas, al menos en nuestro mundo (conjetura de Collatz)

Mapa de Collatz
En el mundo de las hormigas, las leyes que rigen el hormiguero son perfectas. Pero no fuera de él. Lo mismo nos pasó a los humanos con la física clásica hasta que dislumbramos ya no solo la teoría de la relatividad, sino la propia física cuántica, percatándonos que a escalas dimensionales diferentes las reglas de la física, y con ella las matemáticas, se comportaban de manera no solo diferente sino contrarias.

E incluso en nuestro mundo matemáticamente ordenado aún hoy en día contamos con problemas imposibles de resolver, como la conjetura de Collatz, de irresoluble solución. La conjetura de Collatz, más conocida como conjetura de 3n+1 afirma que si tomas un número (no importa con cuál número empieces), y si es par lo divides entre dos y si es impar lo multiplicas por tres y le sumas uno, y repites este procedimiento, eventualmente siempre llegarás al 4 que se convertirá en 2, pero que al final siempre termina en 1. Es decir, no importa cómo, pero el problema siempre llega al mismo punto: siempre alcanzaremos el 1 para cualquier número con el que comencemos. La indomitabilidad del problema enunciado en 1937 por el joven estudiante alemán de matemáticas Collatz reside en que se trata de un problema aritmético que generando una serie de enteros mediante una regla (3n+1) se entra en una sucesión de bucles en los que un conjunto de enteros se va repitiendo periódicamente, hasta el punto que resulta imposible en la actualidad demostrar la veracidad o falsedad absoluta del resultado obtenido.

Pero, ¿por qué nos resulta dificil verificar la conjetura de Collatz sobre la cual para cualquier número inicial, se elija cual se elija, el resultado siempre acaba siendo 1?. La respuesta es que la conjetura del matemático alemán no solo se relaciona con la teoría de números, sino tambien con un problema de indecibilidad (imposible construir un algoritmo que siempre conduzca a una respuesta correcta positiva o negativamente, en un conjunto infinito de entradas), de la teoría del caos, los propios fundamentos de las matemáticas y de la misma computación. De hecho, en este sentido, la conjetura de Collatz es computacionalmente irreductible. Como han afirmado varios científicos: las matemáticas no están listas para este tipo de problema. Incluso un grupo de investigadores del laboratorio de inteligencia artificial del MIT pusieron a prueba, mediante computadora, todos los enteros positivos hasta el 60.000.000, sin encontrar una sola excepción. Se descubrió además que si la regla 3n+1 utilizada cuando es impar se reemplaza por 3n-1, el resultado, en valores absolutos, es el mismo que si se comenzase con un número entero negativo y se siguiera la misma regla, cayendo en una repetición de bucles diferentes. Así pues, ante la pregunta de por qué no se puede probar la conjetura de Collatz, la respuesta es que nadie sabe establecer el caso general para todos los enteros no nulos, ni si hay enteros que generen sucesiones divergentes hacia infinito carentes de bucle.

No hay que decir que resolver el problema planteado por Collatz, ahora hace poco más de ochenta años, nos abriría nuevos horizontes y desarrollaría nuevas e importates técnicas en el ámbito de las matemáticas al conjunto de la humanidad.

Llegados a este punto, podemos afirmar que las matemáticas son imperfectas. O al menos en nuestra dimensión. ¿Podría la conjetura de Colllatz encontrar solución en un contexto de parámetros referenciales dimensionales diferentes? Y, ¿por qué no?. Una de las características del problema planteado es la generación indecible de bucles, sabiendo que en topología matemática un bucle (o loop) es una sentencia que ejecuta repetidas veces un trozo de código o secuencia matemática hasta que la condición asignada a dicho bucle deja de cumplirse. Pero todo bucle matemático tiene una correspondencia en el mundo físico a través de la geometría. Así pues, si convertimos el bucle matemático en un bucle geométrico, nos encontraríamos con un sistema de datos que efectaría una trayectoria que lo devolvería al punto original, mientras se encuentra sujeto a un parámetro que cambia de forma, permitiéndonos determinar el ángulo sólido (1) en cada bucle respecto a la trayectoria del sistema con respecto a su punto de generación (lo que en física se llama Fase Geométrica). O, dicho en otras palabras, el bucle resultante estaría sujeto a las limitaciones de nuestra naturaleza tetradimensional (espacio-tiempo). Pero, ¿cómo se comportaría dicho bucle en un espacio hiperdimensional (más de cuatro dimensiones)?

La conjetura de Collatz siempre tiende a 1, siendo éste un valor numérico, en la magnitud de nuestras matemáticas, que permite comparar grados de medición física de una magnitud. El uno es el primer número natural y también es el número entero que sigue al cero y precede al dos. Como número natural se consiera, axiomáticamente, que no es sucesor de ningún otro número, y como número entero es el elemento representativo de la clase de equivalencia. Almenos en nuestro espacio-tiempo. Pero el uno, desde una perspectiva física y por tanto geométrica, no deja de ser un punto del espacio-tiempo fijado por un sistema de coordenadas dimensionales. Por lo que en un universo hiperdimensional el uno, como magnitud matemática, podría ver alterado su naturaleza como número natural y entero tal y como lo entendemos.

Quién sabe si, en un universo con diferentes parámetros dimensionales referenciales, el comportamiendo bucliano indecible en una nueva concepción matemática del valor uno para la regla secuencial 3n+1, haga viable la solución del problema de la conjetura de Collatz, dando paso a una nueva y enriquecedora concepción de las matemáticas. Quizás no estemos frente a un problema matemático imposible, sino a un problema matemático propio de otra dimensión diferente a la nuestra, al igual que las leyes físicas clásicas no son aplicables al universo de la física subatómica. Por lo que podemos concluir que las matemáticas nunca son perfectas, al menos si solo las aplicamos en nuestro limitado mundo (dentro de en un universo interconectado). En caso contrario, ya hace tiempo que hubiésemos dado matemáticamente con la teoría física del campo unificado de las diversas fuerzas fundamentales que operan en la naturaleza que creemos conocer. Pero como dijo Sócrates, sólo sé que no sé nada.



(1) El ángulo sólido es el ángulo espacial que abarca un objeto visto desde un punto dado, que se correponde con la zona del espacio limitada por las rectas proyectantes desde el objeto hacia el observador.



Nota: Este y otros artículos de reflexión se pueden encontrar recopilados en el glosario de términos del Vademécum del ser humano