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Mapa de Collatz |
Pero, ¿por qué nos
resulta dificil verificar la conjetura de Collatz sobre la cual para
cualquier número inicial, se elija cual se elija, el resultado
siempre acaba siendo 1?. La respuesta es que la conjetura del
matemático alemán no solo se relaciona con la teoría de números,
sino tambien con un problema de indecibilidad (imposible construir un
algoritmo que siempre conduzca a una respuesta correcta positiva o
negativamente, en un conjunto infinito de entradas), de la teoría
del caos, los propios fundamentos de las matemáticas y de la misma
computación. De hecho, en este sentido, la conjetura de Collatz es
computacionalmente irreductible. Como han afirmado varios
científicos: las matemáticas no están listas para este tipo de
problema. Incluso un grupo de investigadores del laboratorio de
inteligencia artificial del MIT pusieron a prueba, mediante
computadora, todos los enteros positivos hasta el 60.000.000, sin
encontrar una sola excepción. Se descubrió además que si la regla
3n+1 utilizada cuando es impar se reemplaza por 3n-1, el resultado,
en valores absolutos, es el mismo que si se comenzase con un número
entero negativo y se siguiera la misma regla, cayendo en una
repetición de bucles diferentes. Así pues, ante la pregunta de por
qué no se puede probar la conjetura de Collatz, la respuesta es que
nadie sabe establecer el caso general para todos los enteros no
nulos, ni si hay enteros que generen sucesiones divergentes hacia
infinito carentes de bucle.
No hay que decir que
resolver el problema planteado por Collatz, ahora hace poco más de
ochenta años, nos abriría nuevos horizontes y desarrollaría nuevas
e importates técnicas en el ámbito de las matemáticas al conjunto
de la humanidad.
Llegados a este punto,
podemos afirmar que las matemáticas son imperfectas. O al menos en
nuestra dimensión. ¿Podría la conjetura de Colllatz encontrar
solución en un contexto de parámetros referenciales dimensionales
diferentes? Y, ¿por qué no?. Una de las características del
problema planteado es la generación indecible de bucles, sabiendo
que en topología matemática un bucle (o loop) es una sentencia que
ejecuta repetidas veces un trozo de código o secuencia matemática
hasta que la condición asignada a dicho bucle deja de cumplirse.
Pero todo bucle matemático tiene una correspondencia en el mundo
físico a través de la geometría. Así pues, si convertimos el
bucle matemático en un bucle geométrico, nos encontraríamos con un
sistema de datos que efectaría una trayectoria que lo devolvería al
punto original, mientras se encuentra sujeto a un parámetro que
cambia de forma, permitiéndonos determinar el ángulo sólido (1)
en cada bucle respecto a la trayectoria del sistema con respecto a su
punto de generación (lo que en física se llama Fase Geométrica).
O, dicho en otras palabras, el bucle resultante estaría sujeto a las
limitaciones de nuestra naturaleza tetradimensional (espacio-tiempo).
Pero, ¿cómo se comportaría dicho bucle en un espacio
hiperdimensional (más de cuatro dimensiones)?
La conjetura de Collatz
siempre tiende a 1, siendo éste un valor numérico, en la magnitud
de nuestras matemáticas, que permite comparar grados de medición
física de una magnitud. El uno es el primer número natural y
también es el número entero que sigue al cero y precede al dos.
Como número natural se consiera, axiomáticamente, que no es sucesor
de ningún otro número, y como número entero es el elemento
representativo de la clase de equivalencia. Almenos en nuestro
espacio-tiempo. Pero el uno, desde una perspectiva física y por
tanto geométrica, no deja de ser un punto del espacio-tiempo fijado
por un sistema de coordenadas dimensionales. Por lo que en un
universo hiperdimensional el uno, como magnitud matemática, podría
ver alterado su naturaleza como número natural y entero tal y como
lo entendemos.
Quién sabe si, en un
universo con diferentes parámetros dimensionales referenciales, el
comportamiendo bucliano indecible en una nueva concepción matemática
del valor uno para la regla secuencial 3n+1, haga viable la solución
del problema de la conjetura de Collatz, dando paso a una nueva y
enriquecedora concepción de las matemáticas. Quizás no estemos
frente a un problema matemático imposible, sino a un problema
matemático propio de otra dimensión diferente a la nuestra, al
igual que las leyes físicas clásicas no son aplicables al universo
de la física subatómica. Por lo que podemos concluir que las
matemáticas nunca son perfectas, al menos si solo las aplicamos en
nuestro limitado mundo (dentro de en un universo interconectado). En
caso contrario, ya hace tiempo que hubiésemos dado matemáticamente
con la teoría física del campo unificado de las diversas fuerzas
fundamentales que operan en la naturaleza que creemos conocer. Pero
como dijo Sócrates, sólo sé que no sé nada.
(1) El ángulo sólido es
el ángulo espacial que abarca un objeto visto desde un punto dado,
que se correponde con la zona del espacio limitada por las rectas
proyectantes desde el objeto hacia el observador.
Nota: Este y otros artículos de reflexión se pueden encontrar recopilados en el glosario de términos del Vademécum del ser humano